Sine and cosine 正弦函数和余弦函数

AIMinEDU 2023年1月10日一条评论数学

在数学上，正弦和余弦是一个角度的三角函数。锐角的正弦和余弦是在直角三角形的背景下定义的：对于指定的角度，其正弦是与该角度相对的边的长度与三角形最长边（斜边）的长度之比，而余弦是相邻腿的长度与斜边的长度之比。对于一个角 $\theta$ ，正弦和余弦函数被简单地表示为 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 。

更一般地说，正弦和余弦的定义可以扩展到单位圆内某些线段的长度的任何实值。更现代的定义将正弦和余弦表示为无限级数，或表示为某些微分方程的解，允许它们扩展到任意的正值和负值，甚至复数。

正弦和余弦函数通常用于模拟周期性现象，如声光波、谐波振荡器的位置和速度、阳光强度和昼长，以及全年的平均温度变化。它们可以追溯到古普塔时期印度天文学中使用的jyā和koṭi-jyā函数。

符号

正弦和余弦是用函数符号写的，缩写为sin和cos。
通常，如果参数足够简单，函数值会被写成不带括号的sin θ，而不是sin(θ)。
正弦和余弦都是一个角度的函数，通常用弧度或度数来表示。除非另有明确说明，本文假设角度是以弧度为单位的。

定义

直角三角形的定义

对于角α，正弦函数给出了对边的长度与斜边的长度的比率。
要定义锐角α的正弦和余弦，首先要有一个直角三角形，其中包含一个度量为α的角；在附图中，三角形ABC中的角α是感兴趣的角。三角形的三条边被命名如下。

对边是指与感兴趣的角相对的那条边，在这里是指a边。
斜边是与直角相对的边，在这里是h边。
邻边是剩余的边，在本例中是边b。它构成了感兴趣的角（角A）和直角的边（并与之相邻）。

一旦选择了这样一个三角形，角的正弦就等于对边的长度除以斜边的长度：

对于角α，正弦函数给出了对边的长度与斜边的长度的比率。

角度的其他三角函数也可以有类似的定义；例如，正切是对边和邻边的比值。

如前所述， $\sin(\alpha )$ 和 $\cos(\alpha )$ 的值似乎取决于对含有度量α的角的直角三角形的选择。然而，情况并非如此：所有此类三角形都相似，因此每个三角形的比率都相同。

单位圆的定义

在三角学中，单位圆是指直角坐标系中以原点（0，0）为中心的半径为1的圆。

单位圆：半径为一的圆
让一条通过原点的线与单位圆相交，与x轴的正半边成θ角。这个交点的x坐标和y坐标分别等于cos(θ)和sin(θ)。当 $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ 时，这个定义与正弦和余弦的直角三角形定义一致。因为单位圆的斜边长度总是1。 ${\textstyle \sin(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {\text{opposite}}{1}}={\text{opposite}}}$ . 三角形对边的长度只是y坐标。对于余弦函数也可以进行类似的论证，以表明 ${\textstyle \cos(\theta )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}}$ 当 $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ 。即使是在使用单位圆的新定义下。tan(θ)被定义为 ${\textstyle {\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}}$ ,，或者等同于线段的斜率。

使用单位圆的定义有一个好处，就是角度可以扩展到任何实数参数。这也可以通过要求某些对称性来实现，而且正弦是一个周期性函数。

复数指数函数的定义

指数函数 $e^{z}$ 是在整个复数领域定义的。正弦和余弦的定义可以通过以下方式扩展到所有复数

$\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$ $\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

这些可以反过来得到欧拉的公式

$e^{iz}=\cos z+i\sin z$ $e^{-iz}=\cos z-i\sin z$

当绘制在复平面上时，函数 $e^{ix}$ 对于的实值来说，描出复平面内的单位圆。

当是一个实数的正弦和余弦简化为虚部和实部的 $e^{ix}$ 或者 $e^{-ix}$ , 表示为

$\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix})=-\operatorname {Im} (e^{-ix})$ $\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix})=\operatorname {Re} (e^{-ix})$

当对于实值和，正弦和余弦可以用实正弦、余弦和双曲函数来表示为

${\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}$

微分方程的定义

$(\cos \theta, \sin \theta)$ 是 $(x(\theta ),y(\theta ))$ 是二维微分方程系统 $y'(\theta )=x(\theta )$ 和 $x'(\theta )=-y(\theta )$ 初始条件和 $x(0)=1$ . 人们可以把上述定义中的单位圆解释为定义了具有给定初始条件的微分方程的相空间轨迹。

Tag: 国际教育

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1 Comment

数学之美

2023年1月10日

通过sin函数，可以把所有的实数都变成[-1,1]内的数，你不觉得很神奇么

Sine and cosine 正弦函数和余弦函数

符号